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成考专升本高数二第一章笔记

时间: 2013年02月04日 来源:不详 作者: 佚名

第一章            函数、极限和连续

§1.1  函数

一、                  主要内容

㈠ 函数的概念

 1. 函数的定义:   y=f(x),   xD

定义域: D(f),     值域: Z(f).

2.分段函数:

3.隐函数:   F(x,y)= 0

4.反函数:   y=f(x) x=φ(y)=f-1(y)

            y=f-1 (x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

     是严格单调增加(或减少)的;

     则它必定存在反函数:

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。   

㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1x2D

  x1x2,f(x1)f(x2),

则称f(x)D内单调增加(  )

f(x1)f(x2),

则称f(x)D内单调减少(  )

    f(x1)f(x2),

则称f(x)D内严格单调增加(  )

f(x1)f(x2),

则称f(x)D内严格单调减少(  )

 

 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称

   偶函数:f(-x)=f(x)

   奇函数:f(-x)=-f(x)

 

 3.函数的周期性:

   周期函数:f(x+T)=f(x), x(-∞,+)

   周期:T——最小的正数

 4.函数的有界性: |f(x)|M , x(a,b)

 

㈢ 基本初等函数

1.常数函数: y=c   (c为常数)

2.幂函数:   y=xn ,   (n为实数)

3.指数函数: y=ax , (a0a1)

4.对数函数: y=loga x ,(a0a1)

5.三角函数: y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x

              y=arctan x, y=arccot x

㈣ 复合函数和初等函数

1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] ,  xX

 

2.初等函数:

  由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数。

 

二、  例题分析

例1.  求下列函数的定义域:

:对于 : 0  解得: ≠±1

   对于 : 0        ≥-2

的定义域:

 

: 得:   解得:

    得:  0     2

的定义域:

 

2.f(x)的定义域为(-11

f(x+1) 的定义域为

 A.(-2,0),  B.(-1,1),  C.(0,2),  D.[0,2]  [  ]

解:∵-1x+11    -2x0

f(x+1) 的定义域为: x(-2,0)

应选A.

 

 

 

 

3.下列f(x)g(x)是相同函数的为

A. ,      

B.  

C.

D.       [  ]

 

解:A.

B.    

 

          应选B

C.

D.

 

4.

的反函数及其定义域。

解:∵

∵在(-3,+)内,函数是严格单调的

∴反函数:

        

 

5.

则其反函数           

解:

   是严格单调增加的

  又∵      ∴取

  即:

   (应填

 

6.设函数 是定义在

同一区间 上的两个偶函数,

   函数。

解:设

       =  

是偶函数    (应填“偶”)

 

7. 判断 的奇偶性。

:

         

         

         

         

         

为奇函数

 

8.  

的周期为     

解法一: 的周期为T,

       

        =

 

    

 

解法二:∵

                 (应填 )

 

9. 指出函数 那是由些简

     单函数复合而成的?

解:

         

      

  是由:

复合而成的。

 

10. 已知 , 等于

      A. ,  B. ,  C. ,  D.   [  ]

:

    (应选A

 

11. 已知

的表达式。

:

解得

  

 

§1.2

一、                 主要内容

㈠极限的概念

1.        数列的极限:

称数列 以常数A为极限;

或称数列 收敛于A.

 

定理: 的极限存在 必定有界.

 

2.函数的极限:

 ⑴当 时, 的极限:

 

⑵当 时, 的极限:

 

  左极限:

  右极限:

⑶函数极限存的充要条件:

定理:

 

㈡无穷大量和无穷小量

1.              无穷大量:

  称在该变化过程中 无穷大量。

  X再某个变化过程是指:

 

2.              无穷小量:

  称在该变化过程中 无穷小量。

3.              无穷大量与无穷小量的关系:

 定理:

4.              无穷小量的比较:

 ⑴若 ,则称β是比α较高阶的无穷小量;

 ⑵若  c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;

 ⑶若 ,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;

 ⑷若 ,则称β是比α较低阶的无穷小量。

 

定理:若:

      则:

 

 

㈢两面夹定理

1.               数列极限存在的判定准则:

 设:     n=123…)

 且:

 则:

2.               函数极限存在的判定准则:

 设:对于点x0的某个邻域内的一切点

   (点x0除外)有:

 且:

 则:

 

㈣极限的运算规则

  若:

  则:①

  

 推论:①

        

 

㈤两个重要极限

 1   

 2     

 

二、                 例题分析

例1.             求数列 的极限。

解:  

2.计算

:∵

   

 

误解:

=0

 

 

 

 

例3.                                 下列极限存在的是

    A.    B.

C.       D.      [  ]

解:A.

B.

 

   不存在

C.               应选C

D.

  

   不存在

 

4. 时, 是等价无穷小量,

          

解:

  (应填2)

 

5.计算   (n=1,2,3,……)

:

   

             (n=2,3,……)

   :

 

由两面夹定理可得:

  

 

6.计算下列极限

 

:

 

 

:

  

 

 

法一: 共轭法

 

解法二: 变量替换法

   设:

时,

               

 

 

解法一:共轭法

    

 

 

解法二:变量替换法

  设:   时,

 

 ⑸ 

解法一:

          

 

解法二:∵

       

            

 

 

:设:

       时,

  

结论:

 

解法一:∵

      

        

        

 

解法二:∵

解法三:应用罗必塔法则

       

 

 

 

解法一

          

          

          

          

 

解法二:

时,

 

解法三

       

 

7. 时,若 为等价无穷小量,

则必有   

解:∵

                      (应填

结论:

 

8. ,则   

解:

                         (应填

 

9.已知 ,求 的值。

解:

   

 

∴当 时,原式成立。

 

10.证明:当 时, 是等价

无穷小量。

证:只要证明  成立,即可。

    设:

        时,

结论:

 

§1.3 连续

一、                        主要内容

函数的连续性

1.        函数在 处连续: 的邻域内有定义,

   1o

   2o

   左连续:

   右连续:

 

2.        函数在 处连续的必要条件:

 定理: 处连续 处极限存在

 

3.    函数在 处连续的充要条件:

 定理:

4.        函数在 上连续:

   上每一点都连续。

   在端点 连续是指:

     左端点右连续;

      右端点左连续。

    

                a+   0    b-       x

5.    函数的间断点:

处不连续,则 的间断点。

 

间断点有三种情况:

 1o 处无定义;

 2o 不存在;

 

3o 处有定义,且 存在,

  

  两类间断点的判断:

  1o第一类间断点:

特点: 都存在。

可去间断点 存在,但

,或 处无定义。

  2o第二类间断点:

特点: 至少有一个为∞,

      振荡不存在。

无穷间断点 至少有一个为∞

 

㈡函数在 处连续的性质

1.                    连续函数的四则运算:

 

  1o

  2o

  3o      

2.                    复合函数的连续性:

  

    

   则:

3.                    反函数的连续性:

  

  

㈢函数在 上连续的性质

 1.最大值与最小值定理:

上连续 上一定存在最大值与最小值。

   y                                                  y

 

  +M                                                  M

 

                              f(x)                                             f(x)

 


 

   

   0  a                              b      x

                                                       m

 

  -M

                                                        0     a                          b          x

 

2.        有界定理:

   上连续 上一定

有界。

 

 

 

 

 

 

 3.介值定理:

  上连续 内至少存在一点

                      ,使得:  

其中:

   y                                                    y         

 


 

   M    

                                 f(x)

   C                                                                    f(x)

 

                                                    

                                                        0    a        ξ              b           x

 

   m

 

   0    a    ξ1                 ξ2    b       x

 

 

 

   推论:

   上连续,且 异号

    内至少存在一点 ,使得:

 

 4.初等函数的连续性:

   初等函数在其定域区间内都是连续的。

 

三、                 例题分析

例1.              分段函数

处是否连续?

解:

   

   

  由函数连续的充要条件定理可知:

   处连续。

 

 

 

2设函数 ,试确定常数k的值,使 在定义域内连续。

解: 的定义域为:

   时,

   是初等函数,在 有定义

∴不论k为何值, 内都是连续的。

   时,

  是初等函数,在 有定义

∴不论k为何值, 内都是连续的。

   时,

    

(无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量)

∴只有当 时, 处连续,

∴只有当 时, 在定义域内连续。

 

3.证明方程 至少有一个根在12之间。

证:设

   上连续

  满足介值定理推论的条件。由定理可得:

内至少存在一点ξ,使得

  即:在12之间至少有一个根

 

 

例4.                                 讨论函数 的间断点。

解: 的定义域为:

           处无定义;

  是函数的间断点。

若补充定义: ,则函数在 连续;

  函数的可去间断点。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.讨论函数 的间断点。

解:

   的定义域为:

   时,函数无定义,

  是函数的间断点;

  若补充定义: ,则函数在 处连续;

  是可去间断点。

  

  是无穷间断点。

 

 

 

 


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